Un exercice complet - Énoncé 4

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{3}{2}x^2-4x+3\) . On note `\mathcal{C}` sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

1. Calculer la dérivée de la fonction \(f\) .

2. a. Déterminer l'équation de la tangente \(\mathcal{T}\) à la courbe `\mathcal{C}` au point d'abscisse 0.

    b. Existe-t-il une tangente à la courbe `\mathcal{C}`  strictement parallèle à la droite \(\mathcal{T}\) ? Si oui, préciser en quel point.

3. a. Démontrer que, pour tout réel \(x\) ,  \(f'(x)=(x+1)(x-4)\) .

    b. En déduire le signe sur \(\mathbb{R}\) de \(f'(x)\) à l'aide d'un tableau de signes.

    c. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) .