Un exercice complet - Énoncé 4

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-4x+3$ . On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

1. Calculer la dérivée de la fonction $f$ .

2. a. Déterminer l'équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

    b. Existe-t-il une tangente à la courbe $\mathcal{C}$  strictement parallèle à la droite $\mathcal{T}$ ? Si oui, préciser en quel point.

3. a. Démontrer que, pour tout réel $x$ ,  $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-4)$ .

    b. En déduire le signe sur $\mathbb{R}$ de $f^{\prime }(x)$ à l'aide d'un tableau de signes.

    c. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ .